Question

12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x²+bx+c与x轴分别交于点A（-4，0），B（2，0），与y轴交于点C，其对称轴与AC交于点M，点D在这条抛物线上，且在第三象限．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）求DM∥AB时点D的坐标；
（3）连结AB、DC，得到四边形ABCD，则四边形ABCD面积的最大值为16．

Answer 1

分析 （1）由题意可知点的坐标适合方程，可得bc的方程组，解方程组可得；
（2）易得直线AC的方程和对称轴方程，由平行关系可得D的纵坐标为-6，把y=-6代入y=x²+2x-8解方程可得；
（3）由距离公式易得S_△ACB，设D到AC的距离为d₂，则d₂的最大值即为平行与AC的切线与AC的距离，再由距离公式可得d₂的最大值，可得四边形ABCD面积S=S_△ACB+S_△ACD的最大值．

解答 解：（1）由题意可知抛物线y=x²+bx+c过点A（-4，0）和B（2，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{16-4b+c=0}\\{4+2b+c=0}\end{array}\right.$，解方程组可得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=-8}\end{array}\right.$，
∴抛物线所对应的函数表达式为y=x²+2x-8；
（2）令x=0可得y=-8，即C（0，-8），
∴直线AC的方程为$\frac{x}{-4}$+$\frac{y}{-8}$=1，对称轴方程为x=-1，
把x=-1代入$\frac{x}{-4}$+$\frac{y}{-8}$=1可得y=-6，即M（-1，-6），
∵DM∥AB，∴D的纵坐标为-6，
把y=-6代入y=x²+2x-8可解得x=-1-$\sqrt{3}$或x=-1+$\sqrt{3}$，
∵D在第三象限，∴D（-1-$\sqrt{3}$，-6）；
（3）化直线AC的方程为一般式可得2x+y+8=0，
设B到AC的距离为d₁，则d₁=$\frac{|2×2+0+8|}{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$，
又可得|AC|=$\sqrt{（-4）^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴S_△ACB=$\frac{1}{2}×\frac{12\sqrt{5}}{5}×2\sqrt{5}$=12，
设D到AC的距离为d₂，则d₂的最大值即为平行与AC的切线与AC的距离，
设平行与AC的切线方程为2x+y+t=0，联立y=x²+2x-8消y可得
x²+4x+t-8=0，由△=16-4（t-8）=0可得t=12，
由距离公式可得d₂的最大值为$\frac{|8-12|}{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
由题意可得四边形ABCD面积S=S_△ACB+S_△ACD
∴S的最大值为12+$\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×\frac{4\sqrt{5}}{5}$=16
故答案为：16

点评 本题考查二次函数的性质，涉及距离公式以及抛物线的切线，属中档题．