Question

7．第一象限内点P在x轴、y轴上的投影分别是A和B，若矩形APBO的周长为定值2m，试证明：过P垂直于AB的直线PC恒过定点，并求出顶点坐标．

Answer 1

分析 设出P的坐标，求出PC的方程，判断求解即可．

解答 解：设A（a，0），则P（a，m-a），a∈（0，m），
则B（0，m-a），
PC的斜率为：$\frac{a}{m-a}$，
PC的方程为：y-（m-a）=$\frac{a}{m-a}$（x-a），
即：（m-a）y-（m-a）（m-a）-a（x-a）=0，
即：my-ay-m²+2am-ax=0，
可得my-m²-a（x+y-2m）=0，
由$\left\{\begin{array}{l}my={m}^{2}\\ x+y-2m=0\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}x=m\\ y=m\end{array}\right.$，
直线PC恒过（m，m）．

点评 本题考查直线系方程的应用，直线方程的求法，考查计算能力．