Question

17．如图所示，某服装设计师要在一块条形布料上画一个等边△ABC作为点缀，使A、B、C三点分别落在条形布料的线条上，已知条形布料相邻横线间的距离为3厘米，则等边△ABC的边长应为2$\sqrt{21}$厘米．

Answer 1

分析 由三角函数的定义和已知题意结合图象可得$\frac{3}{sinα}=\frac{9}{cos（30°-α）}$，结合sin²α+cos²α=1可解得sinα的值，进而可得等边△ABC的边长AB=$\frac{3}{sinα}$，代值计算可得．

解答 解：如图所示，在RT△ABD中$\frac{BD}{AB}$=sinα，∴AB=$\frac{BD}{sinα}$=$\frac{3}{sinα}$，
同理在RT△ACE中$\frac{AE}{AC}$=cos∠CAE=cos[90°-（α+60°-）]=cos（30°-α），
∴AC=$\frac{AE}{cos（30°-α）}$=$\frac{9}{cos（30°-α）}$，
∴$\frac{3}{sinα}=\frac{9}{cos（30°-α）}$，即cos（30°-α）=3sinα，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα+$\frac{1}{2}$sinα=3sinα，∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα=$\frac{5}{2}$sinα，
结合sin²α+cos²α=1可解得sinα=$\frac{\sqrt{21}}{14}$，
∴等边△ABC的边长AB=$\frac{3}{sinα}$=2$\sqrt{21}$
故答案为：2$\sqrt{21}$

$2\sqrt{21}$

点评 本题考查三角形中的几何运算，涉及三角函数的定义和和差角的三角函数，属中档题．