Question

4．如图，在正四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁B₁=a，AB=2a，AA₁=$\sqrt{2}a$，E，F分别是AD，AB的中点．
（1）求证：平面EFB₁D₁∥平面BDC₁；
（2）求证：A₁C⊥平面BDC₁．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接A₁C₁，AC，分别交B₁D₁，EF，BD于M，N，P，连接MN，C₁P，证明BD∥平面EFB₁D₁，推出MC₁∥NP，然后证明PC₁∥MN，得到PC₁∥平面EFB₁D₁，利用平面与平面平行的判定定理证明平面EFB₁D₁∥平面BDC₁．
（Ⅱ）连接A₁P，说明四边形A₁C₁CP为平行四边形，证明A₁C⊥PC₁，推出BD⊥平面A₁C₁CA，得到BD⊥A₁C，然后证明A₁C⊥平面BDC₁．

解答 证明：（Ⅰ）连接A₁C₁，AC，分别交B₁D₁，EF，BD于M，N，P，连接MN，C₁P，
由题意，BD∥B₁D₁，
因为BD?平面EFB₁D₁，B₁D₁?平面EFB₁D₁，所以BD∥平面EFB₁D₁…（3分）又因为A₁B₁=a，AB=2a，所以MC1=$\frac{1}{2}$A1C1=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
又因为E、F分别是AD、AB的中点，所以NP=$\frac{1}{4}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
所以MC₁=NP，
又因为AC∥A₁C₁，所以MC₁∥NP，
所以四边形MC₁PN为平行四边形，
所以PC₁∥MN；
因为PC₁?平面EFB₁D₁，MN?平面EFB₁D₁，所以PC₁∥平面EFB₁D₁，
因为PC₁∩BD=P，所以平面EFB₁D₁∥平面BDC₁…（6分）
（Ⅱ）连接A₁P，因为A₁C₁∥PC，A₁C₁=PC=$\sqrt{2}$a，

所以四边形A₁C₁CP为平行四边形，
因为CC₁=AA₁=PC=$\sqrt{2}$a，所以四边形A₁C₁CP为菱形，
所以A₁C⊥PC₁…（9分）
因为MP⊥平面ABCD，MP?平面A₁C₁CA，
所以平面A₁C₁CA⊥平面ABCD；
因为BD⊥AC，所以BD⊥平面A₁C₁CA，
因为A₁C?平面A₁C₁CA，所以BD⊥A₁C，
因为PC₁∩BD=P，所以A₁C⊥平面BDC₁．…（12分）

点评 本题考查平面与平面平行的判定定理的应用，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力，