Question

15．设数列{a_n}满足a₁=1，a₁+a₂+…+a_n-1=a_n-1（n≥2，n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}满足log_ab_n=a_n（a＞1），求证：$\frac{a}{{a}^{2}-1}$≤$\frac{{b}_{1}}{{b}_{2}-1}$+$\frac{{b}_{2}}{{b}_{3}-1}$+…+$\frac{{b}_{n-1}}{{b}_{n}-1}$$＜\frac{1}{a-1}$．

Answer 1

分析 （1）将表达式a₁+a₂+…+a_n-1=a_n-1（n≥2，n∈N^*）两边都加上a_n，得S_n=2a_n-1，从而a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，即得通项公式；
（2）确定）b_n=${a}^{{2}^{n-1}}$，化简$\frac{{b}_{1}}{{b}_{2}-1}$+$\frac{{b}_{2}}{{b}_{3}-1}$+…+$\frac{{b}_{n-1}}{{b}_{n}-1}$=$\frac{1}{a-1}$-$\frac{1}{{a}^{{2}^{n-1}}-1}$．即可证明结论．

解答 解：（1）∵a₁+a₂+…+a_n-1=a_n-1（n≥2，n∈N^*），
∴a₁+a₂+…+a_n-1+a_n=2a_n-1，即S_n=2a_n-1，
∴a_n=S_n-S_n-1=2a_n-1-（2a_n-1-1）=2a_n-2a_n-1，
即a_n=2a_n-1，又a₁=1，
∴a_n=1×2^n-1=2^n-1；
（2）数列{a_n}满足log_ab_n=a_n（a＞1），∴b_n=${a}^{{2}^{n-1}}$，
∴$\frac{{b}_{k-1}}{{b}_{k}-1}$=$\frac{1}{{a}^{{2}^{k-2}}-1}$-$\frac{1}{{a}^{{2}^{k-1}}-1}$，
∴$\frac{{b}_{1}}{{b}_{2}-1}$+$\frac{{b}_{2}}{{b}_{3}-1}$+…+$\frac{{b}_{n-1}}{{b}_{n}-1}$=$\frac{1}{a-1}$-$\frac{1}{{a}^{{2}^{n-1}}-1}$，
∵{$\frac{1}{a-1}$-$\frac{1}{{a}^{{2}^{n-1}}-1}$}是一个递增数列，
∴$\frac{1}{{a}^{{2}^{n-1}}-1}$＞0，$\frac{1}{a-1}$-$\frac{1}{{a}^{{2}^{n-1}}-1}$≥$\frac{1}{a-1}$-$\frac{1}{{a}^{{2}^{2-1}}-1}$=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$，
∴$\frac{a}{{a}^{2}-1}$≤$\frac{1}{a-1}$-$\frac{1}{{a}^{{2}^{n-1}}-1}$＜$\frac{1}{a-1}$，
∴$\frac{a}{{a}^{2}-1}$≤$\frac{{b}_{1}}{{b}_{2}-1}$+$\frac{{b}_{2}}{{b}_{3}-1}$+…+$\frac{{b}_{n-1}}{{b}_{n}-1}$$＜\frac{1}{a-1}$．

点评 本题考查数列的通项公式，递推公式，对表达式的灵活变形是解题的关键，属于中档题．