Question

18．已知函数f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{-{x^2}+x+k，x≤1}\\{-\frac{1}{2}+{{log}_{\frac{1}{3}}}x，x＞1}\end{array}}$，g（x）=$\frac{x}{{{x^2}+1}}$（a∈R），若对任意的x₁，x₂∈{x|x∈R，x＞-2}，均有f（x₁）≤g（x₂），则实数k的取值范围是$（{-∞，-\frac{3}{4}}]$．

Answer 1

分析 对任意的x₁，x₂∈R，均有f（x₁）≤g（x₂）可化为f（x）_max≤g（x）_min，由基本不等式可知g（x）_min=-$\frac{1}{2}$；再分段讨论确定函数f（x）可能的最大值，从而可得$\frac{1}{4}$+k≤-$\frac{1}{2}$，从而解得实数k的取值范围．

解答 解：若对任意的x₁，x₂∈R，均有f（x₁）≤g（x₂），
则f（x）_max≤g（x）_min，
对于函数f（x），当-2＜x≤1时，f（x）=-x²+x+k=$-（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{4}+k$≤$\frac{1}{4}+k$；当x＞1时，f（x）=-$\frac{1}{2}$+$lo{g}_{\frac{1}{3}}x$$＜-\frac{1}{2}$．
当$k≤-\frac{3}{4}$时，$\frac{1}{4}+k$≤$-\frac{1}{2}$，∴f（x）＜$-\frac{1}{2}$；
当$k＞-\frac{3}{4}$时，$\frac{1}{4}+k$＞$-\frac{1}{2}$，∴f（x）_max=$\frac{1}{4}+k$．
当x=0时，g（x）=0，当x＞0时，g（x）＞0，
当x＜0时，g（x）＜0，
故g（x）_min在（-∞，0）上取得，
当x＜0时，g（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$=$\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$≥$\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}$（当且仅当x=-1时，等号成立）．
故g（x）_min=-$\frac{1}{2}$．
由$\frac{1}{4}+k≤-\frac{1}{2}$，解得k$≤-\frac{3}{4}$．
∴实数k的取值范围是$（{-∞，-\frac{3}{4}}]$．
故答案为：$（{-∞，-\frac{3}{4}}]$．

点评 本题考查了分段函数的应用，考查基本不等式在求最值中的应用，同时考查了恒成立问题，属于中档题．