Question

8．已知x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，求函数y=-3（1-cos²x）-4cosx+4的最大值和最小值．

Answer 1

分析 把原函数整理变形，令t=cosx换元，由x的范围求得t的范围，然后利用二次函数求得最值．

解答 解：y=-3（1-cos²x）-4cosx+4=3cos²x-4cosx+1，
令t=cosx，
∵x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，∴t∈[$-\frac{1}{2}，1$]，
函数y=3t²-4t+1，t∈[$-\frac{1}{2}，1$]，
对称轴方程为t=$\frac{2}{3}$．
∴当t=$\frac{2}{3}$时，y有最小值为-$\frac{1}{3}$；当t=-$\frac{1}{2}$时，y有最大值为$\frac{15}{4}$．

点评 本题考查三角函数最值的求法，考查了换元法，训练了二次函数最值的求法，是中档题．