Question

18．等差数列{a_n}中，a₁=3，其前n项和为S_n，等比数列{b_n}的各项均为正数，b₁=1，公比为q，且b₂+S₂=12，q=$\frac{{S}_{2}}{{b}_{2}}$．则q的值为3，b_n=3^n-1．

Answer 1

分析 分别利用等差数列的求和公式及等比数列的通项公式表示已知条件，然后解方程可求等比数列的公比q，等差数列的公差d，即可求解．

解答 解：设等差数列{a_n}的公差为d，
∵等差数列{a_n}前n项和为S_n，数列{b_n}为正项的等比数列，
且b₂+S₂=12，q=$\frac{{S}_{2}}{{b}_{2}}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1•q+{a}_{1}+{a}_{2}=12}\\{q=\frac{{a}_{1}+{a}_{2}}{1•q}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{q+6+d=12}\\{{q}^{2}=6+d}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{q=3}\\{d=3}\end{array}\right.$，（负值舍去），
∴b_n=1•3^n-1=3^n-1；
故答案为：3，3^n-1．

点评 本题考查等差数列与等比数列的通项公式和前n项和公式，考查方程思想与运算能力，属于中档题．