Question

16．设x∈R，M表示不超过x的最大整数．给出下列结论：
①[3x]=3[x]
②若m，n∈R，则[m-n]≤[m]-[n]；
③函数f（x）=x-[x]-定是周期函数：
④若方程[x]=ax有且仅有3个解，则a∈（$\frac{3}{4}$，$\frac{4}{5}$]∪[$\frac{4}{3}$，$\frac{3}{2}$）．
其中正确的结论有②③．（请填上你认为所有正确的结论序号）

Answer 1

分析 ①取x=0.5，则[3x]=[1.5]=1，而3[x]=3[0.5]=0，即可判断出正误；
②若m，n∈R，设m=k₁+m₀，n=k₂+n₀，k₁，k₂∈Z，m₀，n₀∈[0，1），可得[m₀-n₀]=0或-1，则[m]-[n]=k₁-k₂，[m-n]=k₁-k₂+[m₀-n₀]，即可判断出正误；
③由图象即可判断出正误；
④先考虑3个解≥0时，则$\frac{3}{2}≤a＜2$；同理可得3个解≤0时，则$\frac{2}{3}＜a≤\frac{3}{4}$．即可判断出正误．

解答 解：①取x=0.5，则[3x]=[1.5]=1，而3[x]=3[0.5]=3×0=0，因此不正确；
②若m，n∈R，设m=k₁+m₀，n=k₂+n₀，k₁，k₂∈Z，m₀，n₀∈[0，1），
（m₀-n₀）∈（-1，1），∴[m₀-n₀]=0或-1，则[m]-[n]=k₁-k₂，[m-n]=[k₁-k₂+（m₀-n₀）]=k₁-k₂+[m₀-n₀]≤k₁-k₂，∴[m-n]≤[m]-[n]，正确；
③由图象可知：函数f（x）=x-[x]是周期为1的周期函数；
④先考虑3个解≥0时，则$\frac{3}{2}≤a＜2$；同理可得3个解≤0时，则$\frac{2}{3}＜a≤\frac{3}{4}$．
因此若方程[x]=ax有且仅有3个解，则a∈（$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{4}$]∪[$\frac{3}{2}$，2），因此不正确．
综上可得：只有②③正确．
故答案为：②③．

点评 本题考查了高斯函数的性质、数形结合思想方法、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．