Question

11．已知圆心为C（-2，6）的圆经过点M（0，6-2$\sqrt{3}$）
（1）求圆C的标准方程；
（2）若直线l过点P（0，5）且被圆C截得的线段长为4$\sqrt{3}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）根据题意求得圆的半径，则圆的方程可得．
（2）先看当斜率不存在时，设出直线的方程，与圆的方程联立，消去y，得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理和弦长公式建立等式求得k．则直线的方程可得．最后看斜率不存在时，进而验证．

解答 解：（1）圆C的半径为|CM|=$\sqrt{（0+2）^{2}+（6-2\sqrt{3}-6）^{2}}=4$，
∴圆C的标准方程为（x+2）²+（y-6）²=16．
（2）当所求直线l的斜率存在时，设所求直线的方程为y=kx+5，即kx-y+5=0．
联立直线与圆C的方程：$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+5}\\{{x}^{2}+{y}^{2}+4x-12y+24=0}\end{array}\right.$，
消去y得（1+k²）x²+（4-2k）x-11=0       ①
设方程①的两根为x₁，x₂，由根与系数的关系得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2k-4}{1+{k}^{2}}}\\{{x}_{1}{x}_{2}=-\frac{11}{1+{k}^{2}}}\end{array}\right.$         ②
由弦长公式得$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=4$\sqrt{3}$    ③
将②式代入③，并解得k=$\frac{3}{4}$，此时直线l的方程为3x-4y+20=0．
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0，
验算得方程为x=0的直线也满足题意．
∴所求直线l的方程为3x-4y+20=0或x=0．

点评 本题主要考查了直线与圆的方程问题．解题过程中对直线斜率不存在的情况一定不要疏漏．