Question

3．已知集合A={x∈R|ax²-3x+2=0}．
（1）A=∅，求实数a的取值范围；
（2）若A是单元素集，求a的值和集合A；
（3）求集合M={a∈R|A≠∅}．

Answer 1

分析 （1）若A=∅，则集合A无真子集，这时关于x的方程ax²-3x+2=0无实数解，
（2）若A是单元素集，则集合A中仅有一个元素．可分为两种情况，
（3）集合M={a∈R|A≠∅}则集合A中至少有一个元素，即方程至少有一个解，分a=0和a≠0进行讨论．

解答 解：（1）若A=∅，则集合A无真子集，这时关于x的方程ax²-3x+2=0无实数解，则a≠0，且△=9-8a＜0，解得a＞$\frac{9}{8}$；
（2）若A是单元素集，则集合A中仅有一个元素．可分为两种情况：
①a=0时，方程为-3x+2=0，x=$\frac{2}{3}$，A={$\frac{2}{3}$}；
②a≠0时，则△=9-8a=0，解得a=$\frac{9}{8}$，A={$\frac{4}{3}$}；
（3）若A≠∅，当a=0时满足，当a≠0，△=9-8a≥0，解得a≤$\frac{9}{8}$；
综上所述，M=（-∞，$\frac{9}{8}$]．

点评 本题主要考查子集的性质，以及空集和真子集的定义，解题中要特别注意对系数a的分类讨论，涉及分类讨论的思想．属于基础题