Question

5．已知函数f（x）=x|x-a|-2．
（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）在[0，3]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若对任意x∈[0，1]恒有f（x）＜0，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）f（x）是否存在三个零点，若存在，求实数a的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=2时，去掉绝对值，分类讨论，即可求函数f（x）在[0，3]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）要使函数小于0，则x|x-a|＜2，而x∈[0，1]并且一定正数，只要|x-a|＜2，即可求实数a的取值范围；
（Ⅲ）去掉绝对值，利用f（x）存在三个零点，f（a）＜0，可得$\frac{{a}^{2}}{4}$-2＞0且a＞0，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x|x-a|-2=x|x-2|-2，
0＜x＜2时，f（x）=-（x-1）²-1，∴-2＜f（x）＜-1；
2≤x≤3时，f（x）=（x-1）²-3，∴-2≤f（x）≤1
∴函数f（x）在[0，3]上的最大值为1、最小值为-2；
（Ⅱ）要使函数小于0，则x|x-a|＜2，而x∈[0，1]并且一定正数，
∴只要|x-a|＜$\frac{2}{x}$，即为x-$\frac{2}{x}$＜a＜x+$\frac{2}{x}$，
∴1-2＜a＜1+2，∴-1＜a＜3；
（Ⅲ）x＞a时，f（x）=x|x-a|-2=（x-$\frac{a}{2}$）²-$\frac{{a}^{2}}{4}$-2，
x＜a时，f（x）=x|x-a|-2=-（x-$\frac{a}{2}$）²+$\frac{{a}^{2}}{4}$-2，
∵f（x）存在三个零点，f（a）＜0，∴$\frac{{a}^{2}}{4}$-2＞0且a＞0，
∴a＞2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查绝对值函数，考查函数的最值，考查函数的零点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．