Question

20．已知点O（0，0），A（0，3），直线l：y=x+1，设圆C的半径为1，圆心在l上，若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，则圆心C的横坐标a的取值范围为-1-$\frac{\sqrt{14}}{2}$≤a≤-1+$\frac{\sqrt{14}}{2}$．

Answer 1

分析 设M（x，y），由MA=2MO，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M的轨迹为以（0，-1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，由M在圆C上，得到圆C与圆D相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范围．

解答 解：设点M（x，y），由MA=2MO，化简得：x²+（y+1）²=4，
∴点M的轨迹为以（0，-1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，
又∵点M在圆C上，∴圆C与圆D的关系为相交或相切，
∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=$\sqrt{{a}^{2}+（a+2）^{2}}$，∴1≤$\sqrt{{a}^{2}+（a+2）^{2}}$≤3，
化简可得-1-$\frac{\sqrt{14}}{2}$≤a≤-1+$\frac{\sqrt{14}}{2}$，
故答案为：-1-$\frac{\sqrt{14}}{2}$≤a≤-1+$\frac{\sqrt{14}}{2}$．

点评 本题主要考查圆与圆的位置关系的判定，两点间的距离公式，圆和圆的位置关系的判定，属于基础题．