Question

10．系统内有2k-1（k∈N^*）个元件，每个元件正常工作的概率为p（0＜p＜1），若有超过一半的元件正常工作，则系统正常工作，求系统正常工作的概率p_k，并讨论p_k的单调性．

Answer 1

分析 由题意，p_k=$\sum_{n=0}^{k-1}$C_2k-1ⁿ（1-p）ⁿp^2k-1-n，利用C_2k+1ⁿ=C_2k-1ⁿ+2C_2k-1^n-1+C_2k-1^n-2，可得p_k+1=p_k+C_2k-1^k（1-p）^kp^k（2p-1），即可得出结论．

解答 解：由题意，p_k=$\sum_{n=0}^{k-1}$C_2k-1ⁿ（1-p）ⁿp^2k-1-n，
∵C_2k+1ⁿ=C_2k-1ⁿ+2C_2k-1^n-1+C_2k-1^n-2，
∴p_k+1=$\sum_{n=0}^{k}$C_2k+1ⁿ（1-p）ⁿp^2k+1-n
=$\sum_{n=0}^{k}$（C_2k-1ⁿ+2C_2k-1^n-1+C_2k-1^n-2）（1-p）ⁿp^2k+1-n
=$\sum_{n=0}^{k-1}$C_2k-1ⁿ（1-p）ⁿp^2k-1-n+C_2k-1^k（1-p）^kp^k[p-（1-p）]
=p_k+C_2k-1^k（1-p）^kp^k（2p-1）
∴p＞$\frac{1}{2}$，p_k递增，p＜$\frac{1}{2}$，p_k递减，p=$\frac{1}{2}$，p_k不变．

点评 本题考查概率的运用，考查学生的计算能力，确定p_k+1=p_k+C_2k-1^k（1-p）^kp^k（2p-1）是关键．