Question

18．己知等差数列中，前n项和为S_n，且满足S₃=6，a₄=4．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足b_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{{a}_{n}}，n=2k，n∈{N}^{*}}\\{2{a}_{n}，n=2k-1，n∈{N}^{*}}\end{array}\right.$，求数列{b_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析 （I）设等差数列{a_n}的公差为d，由S₃=6，a₄=4．利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；
（II）由（I）可知：b_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{n}，n=2k}\\{2n，n=2k-1}\end{array}\right.$，①当n为偶数时，即n=2k，k∈N^*，可得T_n=[2+6+…+2（2k-1）]+（2²+2⁴+…+2^2k），利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出；②当n为奇数时，即n=2k-1，k∈N^*，n+1为偶数，T_n=T_n+1-a_n+1，即可得出．

解答 解：（I）设等差数列{a_n}的公差为d，∵S₃=6，a₄=4．
∴$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{1}+\frac{3×2}{2}d=6}\\{{a}_{1}+3d=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=1}\end{array}\right.$，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=1+（n-1）=n；
（II）由（I）可知：b_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{n}，n=2k}\\{2n，n=2k-1}\end{array}\right.$，
①当n为偶数时，即n=2k，k∈N^*，∴T_n=[2+6+…+2（2k-1）]+（2²+2⁴+…+2^2k）
=2k²+$\frac{4（{4}^{k}-1）}{4-1}$=$\frac{{n}^{2}}{2}$+$\frac{{2}^{n+2}}{3}$-$\frac{4}{3}$．
②当n为奇数时，即n=2k-1，k∈N^*，n+1为偶数，
∴T_n=T_n+1-a_n+1=$\frac{（n+1）^{2}}{2}+\frac{{2}^{n+3}-4}{3}$-2ⁿ⁺¹=$\frac{（n+1）^{2}}{2}$+$\frac{{2}^{n+1}}{3}$-$\frac{4}{3}$．
综上可得：T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{n}^{2}}{2}+\frac{{2}^{n+2}-4}{3}，n=2k}\\{\frac{（n+1）^{2}}{2}+\frac{{2}^{n+1}-4}{3}，n=2k-1}\end{array}\right.$，k∈N^*．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．