Question

13．等腰直角三角形ABC的斜边长为5，以CB为半径的扇形的圆心角为$\frac{5π}{6}$，点P为扇形弧BD上任一点，则$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的最大值为（　　）

• A． 5+5$\sqrt{5}$
• B． 5-$\sqrt{5}$
• C． 5-$\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{25}{2}$（1+$\sqrt{2}$）

Answer 1

分析 利用向量的三角形法则将所求转化为向量$\overrightarrow{CP}$与$\overrightarrow{CB}，\overrightarrow{CA}$的数量积，设∠BCP=θ，借助于三角函数的有界性求最大值．

解答 解：由已知△ABC是等腰直角三角形，AB=5，所以AC=BC=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，设∠BCP=θ，
则$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=（$\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CP}$）（$\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CP}$）=$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}+{\overrightarrow{CP}}^{2}-\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CP}$=$\frac{25}{2}$$-\frac{25}{2}cosθ$-$\frac{25}{2}cos（\frac{π}{2}+θ）$=$\frac{25}{2}-\frac{25}{2}cosθ+\frac{25}{2}sinθ$=$\frac{25}{2}+\frac{25\sqrt{2}}{2}sin（θ-\frac{π}{4}）$，
因为扇形的圆心角为$\frac{5π}{6}$，所以$θ-\frac{π}{4}$$∈[-\frac{π}{4}，\frac{7π}{12}]$，所以sin（$θ-\frac{π}{4}$）∈[$-\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
所以$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的最大值为$\frac{25}{2}（1+\sqrt{2}）$；
故选：D．

点评 本题考 查了向量的三角形法则的运用以及化简三角函数式，利用正弦函数的有界性求最值；属于中档题．