Question

17．已知点M、N是由$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{y≥1}\\{x-y+1≥0}\\{x+y≤6}\end{array}\right.$所围成的平面区域内的两个点，则|MN|的最大值是$\sqrt{17}$．

Answer 1

分析 作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形ABCD．因为四边形ABCD的对角线BD是区域中最长的线段，所以当M、N分别与对角线BD的两个端点重合时，|MN|取得最大值，由此结合两点间的距离公式可得本题答案．

解答 解：作出不等式组$\left\{\begin{array}{l}x≥1\\ y≥1\\ x-y+1≥0\\ x+y≤6\end{array}\right.$表示的平面区域，
得到如图的四边形ABCD，其中A（1，1），B（5，1），C（$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{2}$），D（1，2），
∵M、N是区域内的两个不同的点，
∴运动点M、N，可得当M、N分别与对角线BD的两个端点重合时，距离最远，
因此|MN|的最大值是|BD|=$\sqrt{{（5-1）}^{2}+{（1-2）}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
故答案为：$\sqrt{17}$．

点评 本题给出二元一次不等式组表示的平面区域内动点M、N，求|MN|的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和平面内两点间的距离公式等知识，属于基础题．