Question

15．已知等差数列{a_n}满足a₁=1，且a₂、a₇-3、a₈成等比数列，数列{b_n}的前n项和T_n=aⁿ-1（其中a为正常数）．
（1）求{a_n}的前项和S_n；
（2）已知a₂∈N^*，I_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，求I_n．

Answer 1

分析 （1）通过a₂、a₇-3、a₈成等比数列，计算可得d=1或$d=\frac{3}{29}$，进而可得结论；
（2）通过a₂∈N^*及a₁=1可得a_n=n，进而可得b_n=a^n-1（a-1）（n∈N^*），分a=1、a≠1两种情况讨论即可．

解答 解：（1）设{a_n}的公差是d，
∵a₂、a₇-3、a₈成等比数列，
∴a₂•a₈=$（{a}_{7}-3）^{2}$，
∴（1+d）（1+7d）=（1+6d-3）²，
∴d=1或$d=\frac{3}{29}$，
当d=1时，${S_n}=n×1+\frac{1}{2}n（{n-1}）×1=\frac{1}{2}n（{n+1}）$；
当$d=\frac{3}{29}$时，${S_n}=n×1+\frac{1}{2}n（{n-1}）×\frac{3}{29}=\frac{3}{58}{n^2}+\frac{55}{58}n$；
（2）∵a₂∈N^*，a₁=1，
∴{a_n}的公差是d=1，即a_n=n，
当n=1时，b₁=a-1，
当n≥2时，${b_n}={T_n}-{T_{n-1}}={a^{n-1}}（{a-1}）$，
∵b₁=a-1=a^1-1（a-1）满足上式，
∴b_n=a^n-1（a-1）（n∈N^*），
当a=1时，b_n=0，∴I_n=0；
当a≠1时，${I_n}=1×（{a-1}）+2a（{a-1}）+3{a^2}（{a-1}）+…+n{a^{n-1}}（{a-1}）$，
∴aI_n=a（a-1）+2a²（a-1）+…+（n-1）a^n-1（a-1）+naⁿ（a-1），
∴$（{1-a}）{I_n}=（{a-1}）+a（{a-1}）+…+{a^{n-1}}（{a-1}）-n{a^n}（{a-1}）$=aⁿ-1-naⁿ（a-1），
∴I_n=naⁿ-$\frac{{a}^{n}-1}{a-1}$，
∴I_n=$\left\{\begin{array}{l}{0，}&{a=1}\\{n{a}^{n}-\frac{{a}^{n}-1}{a-1}，}&{a≠1}\end{array}\right.$．

点评 本题考查求数列的通项及前n项和，考查分类讨论的思想，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．