Question

12．设λ∈R，f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b$，其中$\overrightarrow a=（{cosx，sinx}），\overrightarrow b=（{λsinx-cosx，cos（\frac{π}{2}-x）}）$，已知f（x）满足$f（{-\frac{π}{3}}）=f（0）$
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）求不等式$2cos（2x-\frac{π}{6}）＞\sqrt{3}$的解集．

Answer 1

分析 （1）利用向量的数量积以及两角和的正弦函数，化简函数的解析式，利用正弦函数的单调性求解即可．
（2）直接利用余弦函数的图象与性质，写出不等式的解集即可．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b$，其中$\overrightarrow a=（{cosx，sinx}），\overrightarrow b=（{λsinx-cosx，cos（\frac{π}{2}-x）}）$，$f（x）=cosx（{λsinx-cosx}）+sinxcos（{\frac{π}{2}-x}）$=λsinxcosx-cos²x+sin²x=$\frac{λ}{2}sin2x-cos2x$…（2分）
∵$f（-\frac{π}{3}）=f（0）\begin{array}{\;}\end{array}\right.$，∴$λ=2\sqrt{3}$…（3分）
∴$f（x）=\sqrt{3}sin2x-cos2x=2sin（{2x-\frac{π}{6}}）$
令$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}（{k∈Z}）$，
得$kπ-\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{π}{3}（{k∈Z}）$，
∴f（x）的单调递增区间是$[{kπ-\frac{π}{6}，kπ+\frac{π}{3}}]（{k∈Z}）$…（7分）
（2）∵$4cos（2x-\frac{π}{6}）＞2\sqrt{3}$，
∴$cos（2x-\frac{π}{6}）＞\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
∴$2kπ-\frac{π}{6}＜2x-\frac{π}{6}＜2kπ+\frac{π}{6}（{k∈Z}）$
∴$kπ＜x＜kπ+\frac{π}{6}（{k∈Z}）$
不等式的解集是$\left\{{x|kπ＜x＜kπ+\frac{π}{6}（{k∈Z}）}\right\}$…（12分）

点评 本题考查向量的数量积以及两角和与差的三角函数，三角函数的单调性的应用，考查计算能力．