Question

13．设函数f（x）对任意x∈R，都有f（2x）=a•f（x），其中a为常数．当x∈[1，2）时，$f（x）=sin（\frac{π}{2}x）$．
（1）设a＞0，f（x）在x∈[4，8）时的解析式及其值域；
（2）设-1≤a＜0，求f（x）在x∈[1，+∞）时的值域．

Answer 1

分析 （1）根据x的范围，得到$\frac{x}{4}$的范围，由f（2x）=a•f（x），令x=$\frac{x}{4}$，得到f（x）=a²f（$\frac{x}{4}$），再代入即可得到f（x）的解析式；
（2）由于[1，+∞）=[1，2）∪[2，2²）∪[2²，2³）∪…∪[2ⁿ，2ⁿ⁺¹）∪…只研究函数f（x）在[2ⁿ，2ⁿ⁺¹）（n∈N）值域即可，先由（1）得到$f（x）={a^n}sin（\frac{π\;x}{{{2^{n+1}}}}）$x∈[2ⁿ，2ⁿ⁺¹）（n∈N），再分n为偶数和奇数两种情况讨论．

解答 解：（1）当x∈[4，8）时，于是$\frac{x}{4}∈[1，2）$，又f（2x）=af（x）
所以$f（x）=af（\frac{x}{2}）={a^2}f（\frac{x}{4}）$，
即f（x）=a²sin（$\frac{π}{8}$x）…3分，
x∈[4，8）$⇒\frac{π}{2}≤\frac{π\;x}{8}＜π$⇒0＜f（x）≤a²
即f（x）在x∈[4，8）时的值域为（0，a²]…6分
（2）由于[1，+∞）=[1，2）∪[2，2²）∪[2²，2³）∪…∪[2ⁿ，2ⁿ⁺¹）∪…
只研究函数f（x）在[2ⁿ，2ⁿ⁺¹）（n∈N）值域即可…7分
对于x∈[2ⁿ，2ⁿ⁺¹）（n∈N）得$\frac{x}{2^n}∈[1，2）$
于是$f（x）=af（\frac{x}{2}）={a^2}f（\frac{x}{2^2}）=…={a^n}f（\frac{x}{2^n}）$
所以$f（x）={a^n}sin（\frac{π\;x}{{{2^{n+1}}}}）$x∈[2ⁿ，2ⁿ⁺¹）（n∈N）…9分
$\frac{π}{2}≤\frac{π\;x}{{{2^{n+1}}}}＜π$⇒$0＜sin（\frac{π\;x}{{{2^{n+1}}}}）≤1$
因为-1≤a＜0
所以当n为偶数时，f（x）在[2ⁿ，2ⁿ⁺¹）（n∈N）上单调减，值域为（0，aⁿ]；
且（0，1]?（0，a²]?（0，a⁴]?…?（0，a^2k]?…10分
当n为奇数时，f（x）在[2ⁿ，2ⁿ⁺¹）（n∈N）上单调增，值域为[aⁿ，0）
且[a，0）?[a³，0）?[a⁵，0）?…?[a^2k-1，0）?…12分
所以f（x）的值域为[a，0）∪（0，1]…14分．

点评 本题考查了函数的解析式的求法和函数的值域的求法，由于[1，+∞）=[1，2）∪[2，2²）∪[2²，2³）∪…∪[2ⁿ，2ⁿ⁺¹）∪…只研究函数f（x）在[2ⁿ，2ⁿ⁺¹）（n∈N）值域是关键，属于难题．