Question

18．在正三角形ABC中，E、F、P分别是-AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图1）．将△AEF沿EF折起到△A₁EF的位置，使二面角A₁-EF-B成直二面角，连结A₁B、A₁P（如图2）

（1）求证：FP∥平面A₁EB．
（2）求证：A₁E⊥平面BEP；
（3）求直线A₁E与平面A₁BP所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）证明FP∥BE，利用直线与平面平行的判定定理证明FP∥平面A₁EB．
（2）不妨设正三角形ABC的边长为3．取BE的中点D，连结DF．证明ADF是正三角形．推出A₁EB为二面角A₁-EF-B的平面角．证明A₁E⊥BE．然后证明A₁E⊥平面BEP．
（3）设A₁E在平面A₁BP内的射影为A₁Q，且A₁Q交BP于点Q，说明∠EA₁Q就是A₁E与平面A₁BP所成的角，在Rt△A₁EQ，求解即可．

解答 （本小题满分14分）
（1）证明：∵CP：PB=CF：FA，
∴FP∥BE．…（1分）
∵BE?平面A₁EB，…（2分）
FP?平面A₁EB，…（3分）
∴FP∥平面A₁EB．…（4分）
（2）证明：不妨设正三角形ABC 的边长为 3．
在图1中，取BE的中点D，连结DF．
∵AE：EB=CF：FA=1：2，
∴AF=AD=2．…（5分）
而∠A=60°，∴△ADF是正三角形．
又AE=DE=1，∴EF⊥AD．…（6分）
在图2中，A₁E⊥EF，BE⊥EF，
∴∠A₁EB为二面角A₁-EF-B的平面角．…（7分）
由题设条件知此二面角为直二面角，∴A₁E⊥BE．
又BE、EF?平面BEF，BE∩EF=E，
∴A₁E⊥平面BEF，即A₁E⊥平面BEP．…（8分）
（3）在图2中，∵A₁E⊥平面BEP，∴A₁E⊥BP，
设A₁E在平面A₁BP内的射影为A₁Q，且A₁Q交BP于点Q，
则可得BP⊥平面A₁EQ，∴BP⊥A₁Q．
则∠EA₁Q就是A₁E与平面A₁BP所成的角，…（10分）
在△EBP中，∵BE=BP=2，∠EBP=60°，
∴△EBP是等边三角形，∴BE=EP．
又A₁E⊥平面BEP，∴A₁B=A₁P，∴Q为BP的中点，且EQ=$\sqrt{3}$．…（12分）
又A₁E=1，在Rt△A₁EQ，tan∠EA₁Q=$\frac{EQ}{{{A_1}E}}=\sqrt{3}$，∴∠EA₁Q=60°．
所以直线A₁E与平面A₁BP所成的角为60°．…（14分）

点评 本题考查直线与平面说出来以及二面角的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查折叠与展开关系的应用，考查空间想象能力以及计算能力．