Question

10．设M、N为△ABC内一点，且$\overrightarrow{AM}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{4}{5}$$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AN}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{6}{7}$$\overrightarrow{AC}$，则$\frac{{S}_{△ABM}}{{S}_{△ABN}}$=$\frac{14}{15}$．

Answer 1

分析 先根据题意画出图形，然后根据△ABM与△ABN的面积之比等于高之比，转化成AP与AQ之比，从而求出所求．

解答 解：根据平面向量的基本定理作出对应的图象如图：
则A，M，N三点共线，且AP=$\frac{4}{5}$AC，AQ=$\frac{6}{7}$AC
故△ABM，△ABN面积之比等于高之比，
设EM，FN分别是△ABM，△ABN的高，
则根据三角形相似的性质可知$\frac{EM}{FN}$=$\frac{GM}{GN}$=$\frac{AP}{AQ}$=$\frac{\frac{4}{5}AC}{\frac{6}{7}AC}$=$\frac{14}{15}$，
则$\frac{{S}_{△ABM}}{{S}_{△ABN}}$=$\frac{\frac{1}{2}AB•EM}{\frac{1}{2}AB•FN}$=$\frac{EM}{FN}$=$\frac{14}{15}$，
故答案为：$\frac{14}{15}$，

点评 本题主要考查了向量在几何中的应用，解题的关键就是画出图形，同时考查了分析问题的能力，属于中档题．