Question

15．已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，AB=2PA，E是线段BC的中点．
（1）求证：PE⊥AD；
（2）求平面PAE与平面PCD所成锐二面角的余弦值；
（3）在线段PD上是否存在一点F，使得CF∥平面PAE，并给出证明．

Answer 1

分析 （1）建立空间坐标系，利用向量法即可证明PE⊥AD；
（2）求出平面的法向量，利用向量法即可求平面PAE与平面PCD所成锐二面角的余弦值；
（3）根据线面平行的判定定理，结合向量法进行求解即可．

解答 解：∵四边形ABCD是∠ABC=60°的菱形，E为边BC的中点，
∴AE⊥BC，∴AE⊥AD，又PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AE，PA⊥AD，以AE、AD、AP分别为x、y、z轴建立坐标系如图，设AB=2，
则B（$\sqrt{3}$，-1，0），E（$\sqrt{3}$，0，0），C（$\sqrt{3}$，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1）…．（1分）
（1）$\overrightarrow{PE}$=（$\sqrt{3}$，0，-1），$\overrightarrow{AD}$=（0，2，0）…（2分）
$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{AD}$=0…（3分）
∴PE⊥AD…（4分）
（2）设平面PCD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\overrightarrow{n}$⊥$\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{n}$⊥$\overrightarrow{PD}$，
∵$\overrightarrow{PC}$=（$\sqrt{3}$，1，-1），$\overrightarrow{PD}$=（0，2，-1），
∴（x，y，z）•（$\sqrt{3}$，1，-1）=$\sqrt{3}$x+y-z=0，（x，y，z）•（0，2，-1）=2y-z=0，
令x=1，则y=$\sqrt{3}$，z=2$\sqrt{3}$，得平面PCD的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$），
又AD⊥平面PAE，则$\overrightarrow{AD}$=（0，2，0）是面PAE的一个法向量，
设平面PAE与平面PCD所成角为α，
则cosα=|cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{AD}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{AD}|}$|=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{16}×2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$…（8分）
（3）假设线段PD存在一点F，使直线CF∥平面PAE，则CF⊥面PAD，
∴CF⊥AD，
设$\overrightarrow{PF}$=λ$\overrightarrow{PD}$=（0，2λ，-λ），（0≤λ≤1），则$\overrightarrow{CF}$=$\overrightarrow{PF}$-$\overrightarrow{PC}$=（-$\sqrt{3}$，2λ-1，-λ+1），
则$\overrightarrow{CF}•\overrightarrow{AD}$=（-$\sqrt{3}$，2λ-1，-λ+1）•（0，2，0）=4λ-2=0，
解得，λ=$\frac{1}{2}$，
∴当F为线段PD的中点时，直线CF∥平面PAE…（12分）

点评 本题主要考查空间直线垂直，线面平行的判定以及二面角的求解，建立坐标系，利用向量法是解决本题的关键．