Question

3．椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，P是椭圆上异于顶点的动点，若恰好有4个不同的点P，使得△PF₁F₂为等腰三角形，且有一个角为钝角，则椭圆的离心率的取值范围是（$\frac{1}{3}$，$\sqrt{2}-1$）．

Answer 1

分析 通过题意可知等腰三角形△F₁F₂P以F₁F₂为一腰，结合以椭圆焦点为圆心半径为2c的圆与椭圆位置关系的判断，建立关于a、c的不等式，解之即可得到椭圆C的离心率的取值范围．

解答 解：根据题意可知等腰三角形△PF₁F₂中的钝角只能是顶角，
又∵P是椭圆上异于顶点的动点，
∴只能是PF₁或PF₂为等腰三角形的底边，
下面只考虑以F₁P作为等腰三角形的底边这种情况，
由对称性可知另一种情况，此时F₁F₂=F₂P，
∴点P在以F₂为圆心，半径为焦距2c的圆上，
∴当以F₂为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2个交点时，
存在2个满足条件的等腰△F₁F₂P，
此时2a-2c＜2c+2c，解得a＜3c，
所以离心率e＞$\frac{1}{3}$，
又∠F₁F₂P为钝角，∴$|{F}_{1}P{|}^{2}$＞$|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}$+$|{F}_{2}P{|}^{2}$，
∴（2a-2c）²＞（2c）²×2，即e＜$\sqrt{2}-1$．
这样，总共有4个不同的点P满足题意，
综上所述，离心率的取值范围是：e∈（$\frac{1}{3}$，$\sqrt{2}-1$），
故答案为：（$\frac{1}{3}$，$\sqrt{2}-1$）．

点评 本题考查椭圆的基本性质，考查求椭圆离心率e的取值范围，着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质等知识，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．