Question

16．在△ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，A＜B＜C＜90°，B=60°，且$\sqrt{（1+cos2A）（1+cos2C）}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
（1）求角A；
（2）若△ABC的外接圆半径为2，求△ABC面积．

Answer 1

分析 （1）已知等式左边被开方数利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用二次根式的性质变形，把A+C的度数代入求出cos（A-C）的值，确定出A-C的度数，即可求出A的度数；
（2）根据（1）确定出A，B，C的度数，连接AO并延长，与圆交于点M，连接MC，过A作AN⊥BC，在直角三角形ACM中，求出AC的长，进而求出AN，BN，NC的长，即可确定出三角形ABC面积．

解答 解：（1）∵1+cos2A=2cos²A，1+cos2C=2cos²C，且cosA＞0，cosC＞0，
∴$\sqrt{（1+cos2A）（1+cos2C）}$=2cosAcosC=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
即cos（A+C）+cos（C-A）=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
∵B=60°，∴A+C=120°①，即cos（A+C）=cos120°=-$\frac{1}{2}$，
∴cos（C-A）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即C-A=30°②，
联立①②解得：A=45°；
（2）由（1）得：A=45°，B=60°，C=75°，
连接AO并延长，与圆交于点M，连接MC，过A作AN⊥BC，
∴B=M=60°，
在Rt△AMC中，AM=4，
∴AC=2$\sqrt{3}$，
∴AN=NC=$\sqrt{6}$，BN=$\sqrt{2}$，
则S_△ABC=$\frac{1}{2}$×（$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$）×$\sqrt{6}$=$\sqrt{3}$+3．

点评 此题考查了余弦定理，三角形面积公式，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．