Question

11．设函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，其中向量$\overrightarrow{a}$=（m，cos2x），$\overrightarrow{b}$=（1+sin2x，1），x∈R，且y=f（x）的图象经过点（$\frac{π}{4}$，2）
（1）求实数m的值；
（2）求函数y=f（x）的最小正周期；
（3）求函数y=f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）运用向量的数量积的坐标表示和代入法，结合特殊角的三角函数值，求得m=1；
（2）运用两角和的正弦公式和周期公式，即可得到最小正周期；
（3）运用正弦函数的最值，即可得到所求最值．

解答 解：（1）函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=m（1+sin2x）+cos2x，
y=f（x）的图象经过点（$\frac{π}{4}$，2），可得f（$\frac{π}{4}$）=2，
即为（1+1）m+0=2，解得m=1；
（2）f（x）=1+sin2x+cos2x=1+$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos2x）=1+$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
则f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{2}$=π；
（3）由（2）f（x）=1+$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
当2x+$\frac{π}{4}$=2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，即x=k$π+\frac{π}{8}$时，f（x）取得最大值，且为1+$\sqrt{2}$；
当2x+$\frac{π}{4}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z，即x=kπ-$\frac{3π}{8}$时，f（x）取得最小值，且为1-$\sqrt{2}$．
则函数y=f（x）的最大值为1+$\sqrt{2}$，最小值为1-$\sqrt{2}$．

点评 本题考查三角函数的化简和求值，同时考查向量的数量积的坐标表示和正弦函数的周期及最值，属于中档题．