Question

19．在平面直角坐标系xOy中，圆C与y轴相切于点M（0，2），且圆心C在直线l：y=2x-4上．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）已知过点N（4，5）的直线m与圆C交于A，B两点，且|AB|=4$\sqrt{2}$，求直线m的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设出圆的方程，利用圆心在直线l上求得a和r，则圆的方程可得．
（Ⅱ）根据弦长和半径可求得圆心到直线m的距离，先看直线斜率不存在时也符合，进而看斜率存在时设出直线方程，利用圆心直线的距离求得k，则直线的方程可得．

解答 （Ⅰ）解：设圆C：（x-a）²+（y-b）²=r²，r＞0，
因为圆C与y轴相切于点M（0，2），所以b=2，|a|=r．
因为圆心C在直线 l：y=2x-4上，所以a=3，r=3．
所以圆C的方程为：：（x-3）²+（y-3）²=9，
（Ⅱ）因为弦长为4$\sqrt{2}$，所以圆心到直线m的距离为1
直线m的斜率不存在时，x=4符合；
当直线m的斜率存在时，设直线m：y-5=k（x-4），即kx-y+5-4k=0，
则d=$\frac{|3k-2+5-4k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{|k-3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，解得k=$\frac{4}{3}$，即直线方程为4x-3y-1=0
所以x=4或4x-3y-1=0．

点评 本题主要考查了直线圆的方程的综合运用．解题的关键是利用圆心到直线的距离来解决问题．