Question

7．已知动点M到点（8，0）的距离等于M到点（2，0）的距离的2倍．
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）若直线y=kx-5与轨迹C没有交点，求k的取值范围；
（3）已知圆x²+y²-8x-8y+16=0与轨迹C相交于A，B两点，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）设出点M的坐标，利用已知距离的关系求得x和y的方程，即M的轨迹方程．
（2）联立直线和圆的方程吗，消去y，得到关于x的一元二次方程，利用判别式确定k的范围．
（3）联立两个圆的方程求得AB的直线方程，进而求得圆心到直线AB的距离，利用勾股定理求得AB的长度，

解答 解：（1）设M（x，y），则$\sqrt{{{（x-8）}^2}+{y^2}}=2\sqrt{{{（x-2）}^2}+{y^2}}$，
整理得x²+y²=16，即动点M的轨迹C的方程为x²+y²=16．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}=16\\ y=kx-5\end{array}\right.$，消去y并化简得（1+k²）x²-10kx+9=0，
因为直线y=kx-5与轨迹C没有交点，所以△=100k²-36（1+k²）＜0，
即16k²-9＜0，解得$-\frac{3}{4}＜k＜\frac{3}{4}$．
（3）圆x²+y²-8x-8y+16=0的圆心坐标为C₁（4，4），半径r=4，
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}=16\\{x^2}+{y^2}-8x-8y+16=0\end{array}\right.$得x+y-4=0这就是AB所在的直线方程，
又圆心C₁（4，4）到直线AB的距离$d=\frac{|1×4+1×4-4|}{{\sqrt{{1^2}+{1^2}}}}=2\sqrt{2}$，
所以$|AB|=2\sqrt{{r^2}-{d^2}}=2\sqrt{16-8}=4\sqrt{2}$．
或：AB所在的直线方程x+y-4=0与x²+y²=16的交点坐标为A（4，0），B（0，4），
所以$|AB|=\sqrt{{4^2}+{4^2}}=4\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了直线和圆的问题的综合运用．综合考查了学生分析和推理的能力．