Question

17．已知椭圆E长轴的端点为A（-3，0）、B（3，0），且椭圆上的点到焦点的最小距离是1．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）O为原点，P是椭圆E上异于A、B的任意一点，直线AP，BP分别交y轴于M，N，问$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$是否为定值，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据条件可知椭圆的焦点在x轴，且a=3，又a-c=1，b²=a²-c²，解出即可得出；
（2）设P（x₀，y₀），则$5{x}_{0}^{2}$+$9{y}_{0}^{2}$=45，且A（-3，0），B（3，0），又直线PA：y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+3}$（x+3），直线PB：y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-3}$（x-3），令x=0，得：$\overrightarrow{OM}$，$\overrightarrow{ON}$，利用数量积运算性质，即可得出．

解答 解：（1）根据条件可知椭圆的焦点在x轴，且a=3，
又a-c=1，b²=a²-c²，
∴c=2，b²=a²-c²=5．
故椭圆E的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$．
（2）设P（x₀，y₀），则$5{x}_{0}^{2}$+$9{y}_{0}^{2}$=45，且A（-3，0），B（3，0），
又直线PA：y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+3}$（x+3），直线PB：y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-3}$（x-3），
令x=0，得：$\overrightarrow{OM}$=$（0，\frac{3{y}_{0}}{{x}_{0}+3}）$，$\overrightarrow{ON}$=$（0，\frac{-3{y}_{0}}{{x}_{0}-3}）$，
故$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=$\frac{-9{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-9}$=$\frac{5{x}_{0}^{2}-45}{{x}_{0}^{2}-9}$=5为定值．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．