Question

5．如图，A，B，C是椭圆M：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上的三点，其中点A是椭圆的右顶点，BC过椭圆M的中心，且满足AC⊥BC，BC=2AC．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若y轴被△ABC的外接圆所截得弦长为9，求椭圆方程．

Answer 1

分析 （1）确定△OAC是以角C为直角的等腰直角三角形，可得点的坐标，代入椭圆方程，可得a，b的关系，即可求椭圆的离心率；
（2）求出△ABC的外接圆的方程，由垂径定理得$\sqrt{{{（\frac{{\sqrt{10}}}{4}a）}^2}-{{（\frac{a}{4}）}^2}}=\frac{9}{2}$，求出a，可得b，即可求椭圆方程．

解答 解：（1）因为BC过椭圆M的中心，所以BC=2OC=2OB，
又AC⊥BC，BC=2AC，所以△OAC是以角C为直角的等腰直角三角形，…（3分）
则$A（a，0），C（\frac{a}{2}，-\frac{a}{2}），B（-\frac{a}{2}，\frac{a}{2}），AB=\frac{{\sqrt{10}}}{2}a$，
所以$\frac{{{{（\frac{a}{2}）}^2}}}{a^2}+\frac{{{{（-\frac{a}{2}）}^2}}}{b^2}=1$，则a²=3b²，
所以${c^2}=2{b^2}，e=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$；…（7分）
（2）△ABC的外接圆圆心为AB中点$P（\frac{a}{4}，\frac{a}{4}）$，半径为$\frac{{\sqrt{10}}}{4}a$，
则△ABC的外接圆为：${（x-\frac{a}{4}）^2}+{（y-\frac{a}{4}）^2}=\frac{5}{8}{a^2}$，…（10分）
由垂径定理得$\sqrt{{{（\frac{{\sqrt{10}}}{4}a）}^2}-{{（\frac{a}{4}）}^2}}=\frac{9}{2}$得a=6，
所以所求的椭圆方程为$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{12}=1$．…（15分）

点评 本题考查椭圆的方程与性质，考查三角形的外接圆，考查学生的计算能力，属于中档题．