Question

16．已知圆C的圆心为坐标原点O，且与直线l₁：x-y-2=0相切，
（1）求圆C的方程；
（2）若与直线l₁垂直的直线l₂与圆交于不同的两点P、Q，且以PQ为直径的圆过原点，求直线l₂的方程．

Answer 1

分析 （1）根据点到直线的距离确定圆的半径，则圆的方程可得．
（2）设出直线l₂的方程，判断出△OPQ为等腰直角三角形，求得圆心到直线l₂的距离进而利用点到直线的距离求得c．则直线方程可得．

解答 解：（1）由已知圆心到直线的距离为半径，求得半径r=$\frac{2}{\sqrt{1+1}}$=$\sqrt{2}$，
∴圆的方程为x²+y²=2．
（2）设直线l₂的方程为x+y+c=0，
由已知△OPQ为等腰直角三角形，则圆心到直线l₂的距离为1，利用点到直线的距离公式得$\frac{|c|}{\sqrt{2}}$=1，
求得c=±$\sqrt{2}$．
所以直线l₂的方程为x+y+$\sqrt{2}$=0或x+y-$\sqrt{2}$=0．

点评 本题主要考查了直线与圆的方程的应用．注意数形结合思想的灵活运用．