Question

1．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的$\sqrt{3}$倍，且经过点（$\sqrt{3}$，1）．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点M（0，2），直线l：y=1，过M任作一条不与y轴重合的直线l₁，与椭圆相交于A、B两点，过AB的中点N作直线l₂与y轴交于点P，D为N在直线l上的射影，若|AB|²=4|ND|•|MP|，求直线l₂的斜率的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的$\sqrt{3}$倍，且经过点（$\sqrt{3}$，1），求得a，b的值，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）设l₁的斜率为k₁，l₂的斜率为k₂，写出直线l₁的方程，和椭圆方程联立后由判别式大于0求出k的范围，利用根与系数关系得到A，B两点的横坐标的和与积，代入弦长公式求|AB|，利用中点坐标公式求出N的坐标，写出NP所在直线方程，求出P点坐标，则|ND|、|MP|的长度可求，由|AB|²=4|ND|•|MP|，得到k₁，k₂的关系，由k₁的范围可得k₂的范围．

解答 解：（I）∵椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的$\sqrt{3}$倍，且经过点（$\sqrt{3}$，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{3}b}\\{\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，
∴a=$\sqrt{6}$，b=$\sqrt{2}$
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（Ⅱ）设l₁的斜率为k₁，l₂的斜率为k₂，直线l₁的方程为y=k₁x+2，
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线与椭圆方程
整理得（3k₁²+1）x²+12k₁x+6=0．
∵直线l₁与椭圆由两个公共点，∴△=3k₁²-1＞0．
∴k₁＜-$\frac{\sqrt{3}}{3}$或k₁＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
由x₁+x₂=-$\frac{12{k}_{1}}{3{{k}_{1}}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{6}{3{{k}_{1}}^{2}+1}$，
得|AB|²=（1+k₁²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=$\frac{24（1+{{k}_{1}}^{2}）（3{{k}_{1}}^{2}-1）}{（1+3{{k}_{1}}^{2}）^{2}}$．
设N（x′，y′），则x′=$\frac{-6{k}_{1}}{3{{k}_{1}}^{2}+1}$，y′=$\frac{2}{3{{k}_{1}}^{2}+1}$．
∴直线NP的方程为y-$\frac{2}{3{{k}_{1}}^{2}+1}$=k₂（x-$\frac{-6{k}_{1}}{3{{k}_{1}}^{2}+1}$），令x=0，得y_P=$\frac{6{k}_{1}{k}_{2}+2}{1+3{{k}_{1}}^{2}}$，
∴|ND|=|1-$\frac{2}{3{{k}_{1}}^{2}+1}$|=$\frac{|3{{k}_{1}}^{2}-1|}{1+3{{k}_{1}}^{2}}$，|MP|=|$\frac{6{{k}_{1}}^{2}-6{k}_{1}{k}_{2}}{1+3{{k}_{1}}^{2}}$|．
∵|AB|²=4|MP|•|ND|
∴$\frac{24（1+{{k}_{1}}^{2}）（3{{k}_{1}}^{2}-1）}{（1+3{{k}_{1}}^{2}）^{2}}$=4•|$\frac{6{{k}_{1}}^{2}-6{k}_{1}{k}_{2}}{1+3{{k}_{1}}^{2}}$|•$\frac{|3{{k}_{1}}^{2}-1|}{1+3{{k}_{1}}^{2}}$
∴k₂=-$\frac{1}{k1}$或k₂=2k₁+$\frac{1}{{k}_{1}}$
由k₂=-$\frac{1}{k1}$，可得k₂∈（-$\sqrt{3}$，0）∪（0，$\sqrt{3}$）
由k₂=2k₁+$\frac{1}{{k}_{1}}$，可得k₂∈（-∞，-2$\sqrt{2}$]∪[2$\sqrt{2}$，+∞）．
∴k₂的取值范围为（-∞，-2$\sqrt{2}$]∪[2$\sqrt{2}$，+∞）∪（-$\sqrt{3}$，0）∪（0，$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了“设而不求”的解题方法，考查了分类讨论的解题思想和数学转化思想方法，考查了学生的运算能力，是难题．