Question

9．已知如图1矩形ABCD的长AB=4，宽AD=3，将其沿对角线BD折起，得到四面体A-BCD，如图2所示，给出下列结论：
①四面体A-BCD体积的最大值为$\frac{72}{5}$；
②四面体A-BCD外接球的表面积恒为定值；
③若E、F分别为棱AC、BD的中点，则恒有EF⊥AC且EF⊥BD；
④当二面角A-BD-C为直二面角时，直线AB、CD所成角的余弦值为$\frac{16}{25}$；
其中正确的结论有②③④（请写出所有正确结论的序号）．

Answer 1

分析 将矩形折叠后得到三棱锥，①四面体ABCD体积最大值为两个面互相垂直求三棱锥的底面积和高计算；
②求出三棱锥的外接球半径，计算表面积；
③连接AF，CF则AF=CF，连接DE，BE，得到DE=BE，利用等腰三角形的三线合一可得；
④当二面角A-BD-C为直二面角时，以C为原点CB，CD所在直线分别为x，y轴建立坐标系，借助于向量的数量积解答．

解答 解：对于①，由题意可得，当平面CBD⊥平面ABD时，
直角三角形CBD的斜边上的高就是四面体A-BCD的底面ABD上的高，为$\frac{3×4}{5}$=$\frac{12}{5}$．
此时，四面体A-BCD体积的体积最大，且体积的最大值为$\frac{1}{3}$•S_△ABD•$\frac{12}{5}$=$\frac{1}{3}$•（$\frac{1}{2}×3×4$）×$\frac{12}{5}$=$\frac{24}{5}$，故①不正确．
对于②，三棱锥A-BCD外接球的直径为BD=5，故半径为$\frac{5}{2}$，所以三棱锥A-BCD外接球的表面积为4π×${（\frac{5}{2}）}^{2}$=25π，故②正确．
对于③，若E、F分别为棱AC、BD的中点，连接AF，CF则AF=CF，根据等腰三角形三线合一得到EF⊥AC；
连接DE，BE，容易判断△ACD≌△ACB，得到DE=BE，所以EF⊥BD，故③正确．
对于④，当二面角A-BD-C为直二面角时，以C为原点CB，CD所在直线分别为x，y轴，则由向量的数量积可以得到直线AB、CD所成角的余弦值为$\frac{16}{25}$，故④正确．
故答案为：②③④．

点评 本题考查了平面与立体几何的关系，平面图形的折叠问题，考查了三棱锥中线线关系，二面角以及三棱锥的外接球的表面积，较综合，属于中档题．