Question

14．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），点A为右顶点，点B为上顶点，坐标原点O到直线AB的距离为$\frac{\sqrt{30}}{5}$c（其中c为半焦距），则椭圆的离心率e为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由椭圆的顶点和截距式方程求出直线AB的方程，化为一般式方程，利用点到直线的距离公式列出方程化简，再由a、b、c的关系求出离心率的值．

解答 解：由题意得，A（a，0）、B（0，b），
则直线AB的方程是$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$，即bx+ay-ab=0，
因为原点O到直线AB的距离为$\frac{\sqrt{30}}{5}$c，所以$\frac{\sqrt{30}}{5}$c=$\frac{|-ab|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$，
化简得，（2a²-3b²）（3a²+2b²）=0
所以a²=$\frac{3}{2}$b²，
所以c²=$\frac{1}{2}$b²，
所以e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．