Question

2．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个焦点和抛物线y²=4$\sqrt{6}$x的焦点相同，过椭圆右焦点F且垂直x轴的弦长为2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若与直线l₁：x-2y+t=0相垂直的直线l与椭圆C交于B、D两点，求△OBD的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过抛物线y²=4$\sqrt{6}$x的焦点可得椭圆的焦点，利用过椭圆右焦点F且垂直x轴的弦长为2，计算即得结论；
（Ⅱ）通过设直线l方程并与椭圆方程联立，利用点到直线的距离、两点间距离公式、三角形面积公式、配方法计算即得结论．

解答 解：（Ⅰ）∵抛物线y²=4$\sqrt{6}$x的焦点为（$\sqrt{6}$，0），
∴a²-b²=6，即（$\sqrt{6}$，0）为椭圆C的右焦点，
又∵过椭圆右焦点F且垂直x轴的弦长为2，
∴点（$\sqrt{6}$，1）在椭圆C上，即$\frac{6}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1$，
∴a²=9，b²=3，
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）∵直线l与直线l₁：x-2y+t=0相垂直，
∴可设直线l方程为：2x+y+m=0，
则点O到直线l的距离d=$\frac{|0+0+m|}{\sqrt{1+4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$•|m|，
联立$\left\{\begin{array}{l}{2x+y+m=0}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去y可得：13x²+12mx+3m²-9=0，
∵△=144m²-4×13×（3m²-9）=12×（117-m²）＞0，
∴m²＜117，即-3$\sqrt{13}$＜m＜3$\sqrt{13}$，
设B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-$\frac{12}{13}$m，x₁•x₂=$\frac{3{m}^{2}-9}{13}$，
∴|BD|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$
=$\sqrt{5}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{5}$•$\sqrt{（-\frac{12}{13}m）^{2}-4•\frac{3{m}^{2}-9}{13}}$
=$\frac{2\sqrt{15}}{13}$•$\sqrt{39-{m}^{2}}$，
∴S_△OBD=$\frac{1}{2}•d•|BD|$=$\frac{\sqrt{3}}{13}$•$\sqrt{39{m}^{2}-{m}^{4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{13}$•$\sqrt{-（{m}^{2}-\frac{39}{2}）^{2}+（\frac{39}{2}）^{2}}$，
∵m²＜117，∴当m²=117时，S_△OBD最大，最大值为：$\frac{\sqrt{13}}{13}•\frac{39}{2}$=$\frac{3}{2}\sqrt{13}$．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，考查点到直线的距离公式、两点间距离公式公式、三角形面积公式、配方法等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．