Question

12．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C过点P（0，$\sqrt{3}$），离心率e=$\frac{1}{2}$．
（1）求椭圆C的方程
（2）如图，动直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点．
①求k，m满足的关系式
②如图，F₁，F₂为椭圆的左右焦点，作F₁M⊥l，F₂N⊥l，垂足分别为M，N，四边形F₁MNF₂的面积S是否存在最大值？若存在，求出该最大值，若不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）椭圆C过点P（0，$\sqrt{3}$），离心率e=$\frac{1}{2}$．可求得椭圆方程．
（2）设出直线方程代入椭圆列式得到关系式，根据面积公式，由均值不等式求得最值．

解答 解：（1）设椭圆得方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，∴$b=\sqrt{3}，c=1$．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）①将直线l的方程y=kx+m代入椭圆C的方程3x²+4y²=12中，
得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，
△=64k²m²-4（4k²+3）（4m²-12）=0，化简得m²=4k²+3，
②设d₁=|F1M|=$\frac{|-k+m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}，{d}_{2}=|{F}_{2}M|=\frac{|k+m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$当k≠0时，设直线l的倾斜角为θ．
则|d₁d₂|=|MN||tanθ|，∴$|MN|=|\frac{{d}_{1}-{d}_{2}}{k}|$，
$S=\frac{1}{2}|\frac{{d}_{1}-{d}_{2}}{k}|（{d}_{1}+{d}_{2}）=|\frac{{d}_{1}^{2}-{d}_{2}^{2}}{2k}|$=$\frac{2|m|}{{k}^{2}+1}=\frac{2|m|}{\frac{{m}^{2}-3}{4}+1}=\frac{8}{|m|+\frac{1}{|m|}}$，
∵m²=4k²+3，当k≠0时，$|m|＞\sqrt{3}，|m|+\frac{1}{|m|}＞\sqrt{3}+\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴$S＜2\sqrt{3}$又当k=0时，四边形F₁MNF₂为矩形，$S=2\sqrt{3}$，
∴四边形F₁MNF₂的最大值为$S=2\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查直线与圆锥曲线的关系，利用均值不等式求得最值．在高考中圆锥曲线的最值经常与均值不等式合体考查，应重点注意．