Question

20．如图，椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，点B在C上，△OBA为等腰直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率e；
（Ⅱ）若圆x²+y²=1经过C上顶点，与x²+y²=1相切的直线l与C交于不同的两点M，N，求弦|MN|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意，有B（$\frac{a}{2}$，$\frac{a}{2}$），将点B的坐标代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，即可求椭圆C的离心率e；
（Ⅱ）分类讨论，直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理，即可求弦|MN|的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由题意，有B（$\frac{a}{2}$，$\frac{a}{2}$），将点B的坐标代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
得a²=3b²，即a²=3（a²-c²），3c²=2a²，
故椭圆C的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．…（5分）
（Ⅱ）由题意，得b²=1，a²=3．
当直线l的斜率不存在时，不妨设l的方程为x=1，代入$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1，
得M（1，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），N（1，-$\frac{\sqrt{6}}{3}$），|MN|=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．…（7分）
当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+m，由题意，
有$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，即m²=k²+1．
将y=kx+m代入$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1，得（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{-6km}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3{m}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}$，
所以|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\frac{2\sqrt{6}|k|\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+3{k}^{2}}$≤$\frac{2\sqrt{6}|k|\sqrt{1+{k}^{2}}}{2\sqrt{2}|k|\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{3}$（当且仅当k²=1时取“=”）．
因为$\sqrt{3}$＞$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，所以|MN|的最大值为$\sqrt{3}$．…（12分）

点评 本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．