Question

15．已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，F₁，F₂分别是它的左、右焦点，A是椭圆上一点，且$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$$•\overrightarrow{A{F}_{1}}$=0，|$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$|=$\frac{4}{3}$|$\overrightarrow{A{F}_{1}}$|，则椭圆的离心率为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由题意，$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$$•\overrightarrow{A{F}_{1}}$=0，可得$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$⊥$\overrightarrow{A{F}_{1}}$，|$\overrightarrow{A{F}_{1}}$|=$\frac{{b}^{2}}{a}$，利用|$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$|=$\frac{4}{3}$|$\overrightarrow{A{F}_{1}}$|，可得2c=$\frac{4}{3}$×$\frac{{b}^{2}}{a}$，即可求出椭圆的离心率．

解答 解：由题意，$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$$•\overrightarrow{A{F}_{1}}$=0，可得$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$⊥$\overrightarrow{A{F}_{1}}$，∴|$\overrightarrow{A{F}_{1}}$|=$\frac{{b}^{2}}{a}$，
∵|$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$|=$\frac{4}{3}$|$\overrightarrow{A{F}_{1}}$|，
∴2c=$\frac{4}{3}$×$\frac{{b}^{2}}{a}$，
∴3ac=2（a²-c²），
∴2e²+3e-2=0，
∴e=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$

点评 本题考查椭圆的离心率，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，比较基础．