Question

7．双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的左、右顶点分别为A₁，A₂，点P在C上且直线PA₂的斜率的取值范围是（$\frac{1}{2}$，1），那么直线PA₁斜率的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{1}{3}$，$\frac{3}{4}$）
• B． （$\frac{3}{4}$，$\frac{5}{2}$）
• C． （$\frac{1}{3}$，$\frac{5}{2}$）
• D． （$\frac{5}{4}$，$\frac{5}{2}$）

Answer 1

分析 由题意求A₁、A₂的坐标，设出点P的坐标，代入求斜率，进而求PA₁斜率的取值范围．

解答 解：由椭圆的标准方程可知，
左右顶点分别为A₁（-2，0）、A₂（2，0），
设点P（a，b）（a≠±2），则$\frac{{a}^{2}}{4}$-$\frac{{b}^{2}}{5}$=1…①，
${k}_{P{A}_{1}}$=$\frac{b}{a+2}$，${k}_{P{A}_{2}}$=$\frac{b}{a-2}$；
则${k}_{P{A}_{1}}•{k}_{P{A}_{2}}$=$\frac{b}{a+2}$•$\frac{b}{a-2}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}-4}$，
由①式可得$\frac{{b}^{2}}{5}$=$\frac{{a}^{2}-4}{4}$，
代入得${k}_{P{A}_{1}}•{k}_{P{A}_{2}}$=$\frac{5}{4}$，
∵${k}_{P{A}_{2}}$∈（$\frac{1}{2}$，1），
∴${k}_{P{A}_{1}}$∈（$\frac{5}{4}$，$\frac{5}{2}$）．
故选D．

点评 本题考查了双曲线的简单性质应用，同时考查了直线的斜率公式及学生的化简能力，属于中档题．