Question

2．已知数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=a_n+$\frac{1}{n^2}$a_n²．
（Ⅰ）求a₂，a₃的值；
（Ⅱ）证明：a_n＜n（n∈N^*）；
（Ⅲ）当n≥3（n∈N^*）时，证明：a_n＞$\frac{6n}{5n+6}$．

Answer 1

分析 （I）由a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=a_n+$\frac{1}{n^2}$a_n²，分别取n=1，2，即可得出．
（II）利用数学归纳法与不等式的性质即可证明．
（III）利用数学归纳法证明．（1）当n=3时，直接验证即可．（2）假设当n=k≥3（k∈N^*）时，a_k$＞\frac{6k}{5k+6}$．则当n=k+1时，利用已知及其归纳假设可得a_k+1=a_k+$\frac{1}{{k}^{2}}{a}_{k}^{2}$＞$\frac{6×（5{k}^{2}+6k+6）}{（5k+6）^{2}}$，利用“作差法”只要证明$\frac{6×（5{k}^{2}+6k+6）}{（5k+6）^{2}}$＞$\frac{6（k+1）}{5（k+1）+6}$，即可．

解答 （I）解：∵a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=a_n+$\frac{1}{n^2}$a_n²，
∴a₂=${a}_{1}+{a}_{1}^{2}$=$\frac{3}{4}$，a₃=${a}_{2}+\frac{1}{4}{a}_{2}^{2}$=$\frac{57}{64}$．
（II）证明：利用数学归纳法证明．
（1）当n=1时，a₁=$\frac{1}{2}$＜1成立．
（2）假设当n=k∈N^*时，不等式a_k＜k成立．
则a_k+1=a_k+$\frac{1}{{k}^{2}}{a}_{k}^{2}$＜k+$\frac{1}{{k}^{2}}×{k}^{2}$=k+1，
因此当n=k+1时，不等式a_k+1＜k+1成立．
综上可得：?n∈N^*，a_n＜n．
（III）证明：利用数学归纳法证明．
（1）当n=3时，a₃=$\frac{57}{64}$，$\frac{6×3}{5×3+6}$=$\frac{6}{7}$，∵$\frac{57}{64}÷\frac{6}{7}$=$\frac{203}{128}$＞1，∴${a}_{3}＞\frac{6×3}{5×3+6}$，此时不等式成立．
（2）假设当n=k≥3（k∈N^*）时，a_k$＞\frac{6k}{5k+6}$．
则当n=k+1时，则a_k+1=a_k+$\frac{1}{{k}^{2}}{a}_{k}^{2}$＞$\frac{6k}{5k+6}$+$\frac{1}{{k}^{2}}$×$（\frac{6k}{5k+6}）^{2}$=$\frac{6×（5{k}^{2}+6k+6）}{（5k+6）^{2}}$，
∵（5k+11）（5k²+6k+6）-（5k+6）²（k+1）=30＞0，
∴$\frac{6×（5{k}^{2}+6k+6）}{（5k+6）^{2}}$＞$\frac{6（k+1）}{5（k+1）+6}$，
∴a_k+1＞$\frac{6（k+1）}{5（k+1）+6}$，
即当n=k+1时，不等式成立．
综上可得：当n≥3（n∈N^*）时，a_n＞$\frac{6n}{5n+6}$．

点评 本题考查了数列递推式的应用、数学归纳法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．