Question

10．过椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点F₁，作x轴的垂线交椭圆于点P，F₂为右焦点，若∠F₁PF₂=60°，则椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 把x=-c代入椭圆方程求得P的坐标，进而根据∠F₁PF₂=60°推断出$\frac{2c}{\frac{{b}^{2}}{a}}$=$\sqrt{3}$整理得$\sqrt{3}$e²+2e-$\sqrt{3}$=0，进而求得椭圆的离心率e．

解答 解：由题意知点P的坐标为（-c，$\frac{{b}^{2}}{a}$）或（-c，-$\frac{{b}^{2}}{a}$），
∵∠F₁PF₂=60°，
∴$\frac{2c}{\frac{{b}^{2}}{a}}$=$\sqrt{3}$，
即2ac=$\sqrt{3}$b²=$\sqrt{3}$（a²-c²）．
∴$\sqrt{3}$e²+2e-$\sqrt{3}$=0，
∴e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$或e=-$\sqrt{3}$（舍去）．
故选：D．

点评 本题主要考查了椭圆的简单性质，考查了考生综合运用椭圆的基础知识和分析推理的能力，属中档题．