Question

17．如图，△ABC内接于圆O，直线L平行AC交线段BC于D，交线段AB于E，交圆O于G、F，交圆O在点A的切线于P．若D是BC的中点，PE=6，ED=4，EF=6，则PA的长为2$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 根据DE∥AC利用平行线的性质，证出AE=BE且∠BDE=∠C．再由弦切角定理证出∠BDE=∠PAE，从而得出∠BED=∠PEA，可得△BED∽△PEA，最后利用题中数据计算线段的比，即可算出PA的长．

解答 解：∵D是BC的中点，DE∥AC，∴AE=BE，且∠BDE=∠C．
又∵PA切圆O于点A，∴∠PAE=∠C，可得∠BDE=∠PAE．
∵∠BED=∠PEA，
∴△BED∽△PEA，可得$\frac{ED}{AE}=\frac{BE}{PE}$，
∴AE²=BE•AE=PE•ED=24．
由此解出AE=2$\sqrt{6}$．
∵AE²=GE•EF，∴GE=4，
∴PG=2，
∴PA²=PG•PF=24，
∴PA=2$\sqrt{6}$．
故答案为：2$\sqrt{6}$．

点评 本题给出圆满足的条件，求线段PA的长．着重考查了弦切角定理、平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，属于中档题．