Question

2．假设随机变量X的绝对值不大于1，P{X=-1}=$\frac{1}{8}$，P{X=1}|=$\frac{1}{4}$；在事件{-1＜X＜1}出现的条件下，X在（-1，1）内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比，试求：
（1）X的分布函数F（x）；
（2）X取负值的概率p．

Answer 1

分析 （1）x＜-1时，F（x）=0，x≥1，F（x）=1，再求出F（x）=P（X≤-1）+P{-1＜X≤x}=$\frac{1}{16}$（5x+7），即可得到X的分布函数F（x）；
（2）X取负值的概率P（X≤0）=F（0）．

解答 解：（1）由题设知，x＜-1时，F（x）=0，F（-1）=$\frac{1}{8}$，
∴P{-1＜X≤1}=1-$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{5}{8}$，
P{-1＜X≤x|-1＜X＜1}=$\frac{1}{2}$（x+1）（|x|＜1），
∴P{-1＜X≤x}=$\frac{5}{8}•\frac{x+1}{2}$=$\frac{5（x+1）}{16}$，
∴F（x）=P（X≤-1）+P{-1＜X≤x}=$\frac{1}{16}$（5x+7），
∵x≥1，F（x）=1，
∴F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{0，x＜-1}\\{\frac{1}{16}（5x+7），-1≤x＜1}\\{1，x≥1}\end{array}\right.$；
（2）P=P（X≤0）=F（0）=$\frac{7}{16}$．

点评 本题考查分布函数，考查概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确求出概率是关键．