Question

7．在△ABC中，顶点B、C的坐标分别为（0，-2），（0，2），其周长为12，求顶点A的轨迹方程．

Answer 1

分析 首先根据△ABC的周长是12，且A（0，-2），B（0，2），进一步确定|AC|+|BC|=12＞|AB|，判断顶点C的轨迹是以A（0，-2），B（0，2）为焦点以原点为中心，x轴和y轴为对称轴的椭圆．进一步根据a、b、c的关系求出椭圆的方程．

解答 解：已知△ABC的周长是36，且A（0，-2），B（0，2）
则|AB|=4，|AC|+|BC|=12＞|AB|=4，
所以△ABC的顶点C的轨迹是以A（0，-2），B（0，2）为焦点，以原点为中心，以x轴和y轴为对称轴的椭圆．
椭圆方程设为：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
令|AC|+|BC|=8=2a，
解得：a=4，
令|AB|=4=2c，
解得：c=2，
进一步解得：b²=a²-c²=16-4=12．
求得△ABC的顶点C的轨迹方程为：$\frac{{y}^{2}}{16}+\frac{{x}^{2}}{12}=1$（y≠0）．
故答案为：$\frac{{y}^{2}}{16}+\frac{{x}^{2}}{12}=1$．y≠0．

点评 本题考查的知识要点：椭圆的定义，椭圆的方程及相关的运算问题．注意y≠0的情况．