Question

18．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{1}{2}$，右焦点为F（c，0），方程ax²+bx-c=0的两个实根x₁，x₂，则点P（x₁，x₂）（　　）

• A． 必在圆x²+）y²=2上
• B． 必在圆x²+y²=2内
• C． 必在圆x²+y²=2外
• D． 以上三种情况都有可能

Answer 1

分析 由题意可求得c=$\frac{1}{2}$a，b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，从而可求得x₁和x₂，利用韦达定理可求得x₁²+x₂²的值，从而可判断点P与圆x²+y²=2的关系．

解答 解：∵椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
∴c=$\frac{1}{2}$a，b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴ax²+bx-c=ax²+$\frac{\sqrt{3}}{2}$ax-$\frac{1}{2}$a=0，
∵a≠0，
∴x²+$\frac{\sqrt{3}}{2}$x-$\frac{1}{2}$=0，又该方程两个实根分别为x₁和x₂，
∴x₁+x₂=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，x₁x₂=-$\frac{1}{2}$，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=$\frac{3}{4}$+1＜2．
∴点P在圆x²+y²=2的内部．
故选B．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查点与圆的位置关系，求得c，b与a的关系是关键，属于中档题．