Question

10．已知椭圆$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），A（0，4）为长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，且$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}$=0，|$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}$|=2|$\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}$|，则其焦距为$\frac{8\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 利用$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}$=0，|$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}$|=2|$\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}$|，可得AC⊥BC，OC=AC，求出C的坐标，代入椭圆方程，求出b，可得c，即可求出椭圆的焦距．

解答 解：因为$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}$=0，|$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}$|=2|$\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}$|，
所以AC⊥BC，OC=AC，
因为OA=4，
所以C（2，2），代入椭圆方程可得$\frac{4}{16}+\frac{4}{{b}^{2}}=1$，
所以b²=$\frac{16}{3}$，
所以c=$\sqrt{16-\frac{16}{3}}$=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，
所以2c=$\frac{8\sqrt{6}}{3}$．
故答案为：$\frac{8\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查椭圆的方程与性质，考查学生的计算能力，确定C的坐标是关键．