Question

19．在△ABC中，已知tanA=2，tanB=3，∠A的对边a=1．
（1）求∠C的大小；
（2）求△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （1）利用两角和与差的正切函数公式求出tanC的值，即可确定出C的度数；
（2）由tanA与tanB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA与cosA的值，再由a的值，利用正弦定理求出b的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．

解答 解：（1）∵tanA=2，tanB=3，
∴tanC=-tan（A+B）=-$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=-$\frac{2+3}{1-6}$=1，
∵tanC＜tanA＜tanB，
∴∠C＜∠A＜∠B，
则∠C=45°；
（2）∵tanA=2，tanB=3，
∴cosA=$\sqrt{\frac{1}{1+ta{n}^{2}A}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cosB=$\sqrt{\frac{1}{1+ta{n}^{2}B}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，sinB=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∵a=1，
∴由正弦定理$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$得：b=$\frac{asinB}{sinA}$=$\frac{1×\frac{3\sqrt{10}}{10}}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{3\sqrt{6}}{4}$，
则S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．