Question

5．设函数f（x）=ax³+bx+c（a≠0）为奇函数，其图象在点（1，f（1））处的切线与直线6x+y-3=0平行，导函数f′（x）的最小值为-12．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调递增区间，并求函数f（x）在[-2，$\sqrt{3}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）根据奇函数得f（0）=0，再根据（1，f（1））处的切线与直线6x+y-3=0平行，求出切点坐标，根据切点处导数值为切线斜率列出关于a，b，c的方程组求出解；
（2）根据函数的性质求出单调区间，然后求出最值即可．

解答 解：（1）∵f（x）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
即-ax³-bx+c=-ax³-bx-c，
∴c=0，
∴f′（x）=3ax²+b，
∵函数f（x）=ax³+bx+c（a≠0）的图象在点x=1处的切线与直线6x+y+3=0平行，
∴f′（1）=3a+b=-6，
∵导函数f′（x）的图象经过点（0，-12），
∴b=-12，
∴a=2，
∴函数f（x）=2x³-12x；
（2）∵f（x）=2x³-12x，
∴f′（x）=6x²-12=6（x+$\sqrt{2}$）（x-$\sqrt{2}$），列表如下：

x	（-∞，-$\sqrt{2}$）	-$\sqrt{2}$	（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）	$\sqrt{2}$	（$\sqrt{2}$，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	极大	减	极小	增

∴函数f（x）的单调增区间是（-∞，-$\sqrt{2}$）和（$\sqrt{2}$，+∞），
∵f（-2）=8，f（-$\sqrt{2}$）=8$\sqrt{2}$，f（$\sqrt{2}$）=-8$\sqrt{2}$，f（3）=18，
∴f（x）在[-2，$\sqrt{3}$]上的最大值是f（3）=18，最小值是-8$\sqrt{2}$．

点评 本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力．属于中档题．