Question

17．椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左焦点为F，右顶点为A，点P为椭圆上一点，若△PFA的周长为7，则△PFA的面积为$\frac{3\sqrt{21}}{8}$．

Answer 1

分析 设P（m，n），则$\frac{{m}^{2}}{4}$+$\frac{{n}^{2}}{3}$=1，①，求得A，F的坐标，由条件化简可得$\frac{（m-\frac{1}{2}）^{2}}{4}$+$\frac{{n}^{2}}{\frac{7}{4}}$=1，②，解方程可得m，n，再由三角形的面积公式，计算即可得到．

解答 解：设P（m，n），则$\frac{{m}^{2}}{4}$+$\frac{{n}^{2}}{3}$=1，①
又F（-1，0），A（2，0），
|AF|=3，|PF|=$\sqrt{（m+1）^{2}+{n}^{2}}$，|PA|=$\sqrt{（m-2）^{2}+{n}^{2}}$，
△PFA的周长为7，则|PF|+|PA|=4，
即有$\sqrt{（m+1）^{2}+{n}^{2}}$+$\sqrt{（m-2）^{2}+{n}^{2}}$=4，
化简可得，$\frac{（m-\frac{1}{2}）^{2}}{4}$+$\frac{{n}^{2}}{\frac{7}{4}}$=1，②
由①②解得m=$\frac{3}{2}$，或m=-$\frac{29}{10}$，
将m=$\frac{3}{2}$代入①，可得n=$±\frac{\sqrt{21}}{4}$，
将m=-$\frac{29}{10}$代入①，方程无解．
则△PFA的面积为S=$\frac{1}{2}$|AF|•|n|
=$\frac{1}{2}×3×\frac{\sqrt{21}}{4}$=$\frac{3\sqrt{21}}{8}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{21}}{8}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的方程和运用，考查运算能力，属于中档题．