Question

12．已知椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），椭圆的左右焦点F₁，F₂与其短轴的端点构成等边三角形，且满足a²=4c（c是椭圆C的半焦距）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l：3x-2y=0与椭圆C在x轴上方的一个交点为P，F是椭圆的右焦点，试探究以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系．

Answer 1

分析 （1）由题意知：a=2c，又a²=4c，b²=a²-c²，解出即可得出；
（2）由（1）可知，直线与椭圆的一个交点为P$（1，\frac{3}{2}）$，F（1，0），则以PF为直径的圆方程是（x-1）²+$（y-\frac{3}{4}）^{2}$=$\frac{9}{16}$，以椭圆长轴为直径的圆的方程是x²+y²=4，判断圆心距与两圆的半径和差的关系即可得出．

解答 解：（1）由题意知：a=2c，又∵a²=4c，b²=a²-c²，
∴a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1．
∴椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）由（1）可知，直线与椭圆的一个交点为P$（1，\frac{3}{2}）$，F（1，0），
则以PF为直径的圆方程是（x-1）²+$（y-\frac{3}{4}）^{2}$=$\frac{9}{16}$，
圆心为$（1，\frac{3}{4}）$，半径为$\frac{3}{4}$．
以椭圆长轴为直径的圆的方程是x²+y²=4，
圆心是（0，0），半径是2．
两圆心距为$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{3}{4}）^{2}}$=$\frac{5}{4}$=2-$\frac{3}{4}$，
∴两圆内切．

点评 本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、两圆的位置关系、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．